Question

13．先化简，再求值：（a-$\frac{2a}{a+1}$）÷$\frac{{a}^{2}-2a+1}{{a}^{2}-1}$-a²，其中a是方程x²-x-3=0的解．

Answer 1

分析 先对原式化简，再根据a是方程x²-x-3=0的解，可以求得出a的值，代入化简后的式子即可解答本题．

解答 解：（a-$\frac{2a}{a+1}$）÷$\frac{{a}^{2}-2a+1}{{a}^{2}-1}$-a²
=$\frac{a（a+1）-2a}{a+1}×\frac{（a+1）（a-1）}{（a-1）^{2}}-{a}^{2}$
=$\frac{{a}^{2}+a-2a}{a-1}$-a²
=$\frac{a（a-1）}{a-1}$-a²
=a-a²，
∵x²-x-3=0，
解得，x=$\frac{1±\sqrt{（-1）^{2}-4×1×（-3）}}{2}$=$\frac{1±\sqrt{13}}{2}$，
∵a是方程x²-x-3=0的解，
∴a=$\frac{1±\sqrt{13}}{2}$，
∴当a=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$时，原式=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}-（\frac{1+\sqrt{13}}{2}）^{2}$=-3，
当a=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$时，原式=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}-（\frac{1-\sqrt{13}}{2}）^{2}$=-3，
即原式=-3．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法．