Question

5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）

• A． $\sqrt{15}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{15}$
• D． 8

Answer 1

分析 作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA-AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=$\frac{1}{2}$OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=$\sqrt{15}$，所以CD=2CH=2$\sqrt{15}$．

解答 解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA-AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH=$\sqrt{O{C}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴CD=2CH=2$\sqrt{15}$．
故选C．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．