Question

【感知】如图①，∠MON=90°，OC平分∠MON．CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，可知OD=OE．（不要求证明）
【拓展】在图①中，作∠ACB=90°，CA，CB分别交射线OM，ON于A，B两点，求证：AD=BE．
【应用】如图②，△OAB与△ABC均为直角三角形，OC平分∠AOB，O，C两点在AB的异侧．已知∠AOB=∠ACB=90°，OA=5，OB=3，求线段OC的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的判定与性质

专题：

分析：[拓展]如图①，证明CD=CE；证明∠BCE=∠ACD；证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE．
[应用]如图②，作辅助线；类比（1）中的结论得到：OM=ON；结合OA=5，OB=3，得到5-λ=3+λ，λ=1；运用勾股定理即可解决问题．

解答：解：【拓展】
∵OC平分∠MON，CD⊥OM，CE⊥ON，
∴CD=CE，∠CEB=∠CDA；
∵∠DOE=90°，
∴四边形ODCE为正方形，
∴∠DCE=90°，CD=CE；
∵∠BCA=90°，
∴∠BCE=∠ACD；
在△ACD与△BCE中，

∠BEC=∠ADC CE=CD ∠BCE=∠ACD

，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD=BE．
【应用】如图②，过点C作CM⊥OA；
CN⊥OB，交OB的延长线于点N；
由（1）知：AM=BN（设为λ），
四边形OMCN为正方形，
∴OM=ON；而OA=5，OB=3，
∴5-λ=3+λ，λ=1，
∴OM=CM=4；
由勾股定理得：OC²=4²+4²，
∴OC=4

2

．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定等几何知识点．