Question

10．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB、BC的中点，E、F是边AC上的三等分点，连接ME、NF且延长后交于点D，连接BE、BF
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB=3$\sqrt{2}$，∠A=45°，∠C=30°，求：四边形BFDE的面积．

Answer 1

分析 （1）由E、F是边AC上的三等分点，CF=EF=AE，可得N是BC中点，即可得FN是△CEB的中位线，根据三角形中位线的性质，可得FN∥BE，同理可证：ED∥BF，即可判定四边形BFDE是平行四边形；
（2）首先过点B作BH⊥AC于点H，由AB=3$\sqrt{2}$，∠A=45°，可求得BH与AH的长，又由∠C=30°，即可求得CH的长，则可求得△ABC的面积，又由E、F是边AC上的三等分点，即可求得答案．

解答 （1）证明：∵E、F是AC边上的三等分点，
∴CF=EF=AE，
∵N是BC中点，
∴FN是△CEB的中位线，
∴FN∥BE，即DF∥BE，
同理可证：ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）解：过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠A=45°，AB=$3\sqrt{2}$，
∴BH=AH=3，
∵∠C=30°，
∴CH=$3\sqrt{3}$
∴${S_{△ABC}}=\frac{9}{2}（{1+\sqrt{3}}）$，
∵E、F是AC边上的三等分点，
∴${S_{△EBF}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}=\frac{3}{2}（{1+\sqrt{3}}）$，
∴${S_{四边形BFDE}}=2{S_{△EBF}}=3（{1+\sqrt{3}}）=3+3\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．