Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在B′处．
（1）试判断图中△AEC的形状，并说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）求直线AB′所对应的函数解析式．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,待定系数法求一次函数解析式,矩形的性质

专题：计算题

分析：（1）根据矩形的性质得CD∥AB，再利用平行线的性质得∠BAC=∠DCA，然后根据折叠的性质得到∠BAC=∠B′AC，则∠DCA=∠B′AC，于是根据等腰三角形的判定定理可判断△AEC为等腰三角形；
（2）利用矩形的性质得CD=AB=8，AD=BC=4，设CE=x，则AE=x，DE=8-x，在Rt△ADE中，根据勾股定理得到4²+（8-x）²=x²，解得x=5，然后根据三角形的面积公式计算图中阴影部分的面积；
（3）由于CE=5，则DE=3，可写出E点坐标为（3，4），然后利用待定系数法求直线AB′所对应的函数解析式．

解答：解：（1）△AEC为等腰三角形．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵矩形沿AC折叠，点B落在B′处，
∴∠BAC=∠B′AC，
∴∠DCA=∠B′AC，
∴△AEC为等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，AD=BC=4，
设CE=x，则AE=x，DE=8-x，
在Rt△ADE中，
∵AD²+DE²=AE²，
∴4²+（8-x）²=x²，解得x=5，
∴图中阴影部分的面积=

1

2

AD•CE=

1

2

×4×5=10；
（3）∵CE=5，
∴DE=3，
∴E点坐标为（3，4），
设直线AB′所对应的函数解析式为y=kx，
把E（3，4）代入得3k=4，解得k=

4

3

，
∴直线AB′所对应的函数解析式为y=

4

3

x．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了待定系数法求一次函数解析式和矩形的性质．