Question

18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx-8与x轴交于两点A，B，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为点D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）试探究在x轴下方的抛物线上是否存在点F，使得△FOB和△EOB的面积相等，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，请直接写出：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）求得直线l的解析式和抛物线对称轴即可得出交点坐标；
（3）根据△FOB和△EOB共底且面积相等可得y_F=y_E，即$\frac{1}{2}$x²-3x-8=-4，解之可得答案；
（4）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE∥PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）将点A（-2，0）、D（6，-8）代入y=ax²+bx-8，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-8=0}\\{36a+6b-8=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x²-3x-8；

（2）设直线l的解析式为y=kx，
将D（6，-8）代入，得：6k=-8，
解得：k=-$\frac{4}{3}$，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x，
又抛物线的对称轴为x=-$\frac{-3}{2×\frac{1}{2}}$=3，
∴点E的坐标为（3，-4）；

（3）存在，
设点F（x，$\frac{1}{2}$x²-3x-8），
∵S_△FOB=S_△EOB，即$\frac{1}{2}$OB•y_F=$\frac{1}{2}$OB•y_E，
∴y_F=y_E，即$\frac{1}{2}$x²-3x-8=-4，
解得：x=3±$\sqrt{17}$，
∴点F的坐标为（3-$\sqrt{17}$，-4）或（3+$\sqrt{17}$，-4）．

（4））①如图1

当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．
∵点E坐标（3，-4），
∴OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则$\frac{OM}{OP}$=$\frac{OE}{OQ}$，
∴OM=OE=5，
∴点M坐标（0，-5）．
设直线ME的解析式为y=k₁x-5，
∴3k₁-5=-4，
∴k₁=$\frac{1}{3}$，
∴直线ME解析式为y=$\frac{1}{3}$x-5，
令y=0，得$\frac{1}{3}$x-5=0，解得x=15，
∴点H坐标（15，0），
∵MH∥PB，
∴$\frac{OP}{OM}$=$\frac{OB}{OH}$，即$\frac{-m}{5}$=$\frac{8}{15}$，
∴m=-$\frac{8}{3}$，
②如图2，

当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．
∵当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x²-3x-8=-8，
∴点C坐标（0，-8），
∴CE=$\sqrt{{3}^{2}+（8-4）^{2}}$=5，
∴OE=CE，
∴∠1=∠2，
∵QO=QP，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CE∥PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y=k₂x-8，
∴3k₂-8=-4，
∴k₂=$\frac{4}{3}$，
∴直线CE解析式为y=$\frac{4}{3}$x-8，
令y=0，得$\frac{4}{3}$x-8=0，
∴x=6，
∴点N坐标（6，0），
∵CN∥PB，
∴$\frac{OP}{OC}$=$\frac{OB}{ON}$，
∴$\frac{-m}{8}$=$\frac{8}{6}$，
∴m=-$\frac{32}{3}$．
③OP=PQ时，显然不可能，理由，
∵D（6，-8），
∴∠1＜∠BOD，
∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO＞∠1，
∴OP≠PQ，
综上所述，当m=-$\frac{8}{3}$或-$\frac{32}{3}$时，△OPQ是等腰三角形．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．