Question

20．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接BF、EF，与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若BC=4$\sqrt{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质得出∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，进而求出△AOE≌△COF（AAS），得出答案即可；
（2）首先求出∠BAC=30°，进而得出∠BEF=2∠OBE，利用AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$求出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠ACF}\\{∠CFO=∠AEO}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；

（2）解：连接OB，

∵BF=BE，OE=OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴BO=$\frac{1}{2}$AC=OA，
∴∠BAC=∠OBA，
又∠BEF=2∠BAC，
∴∠BEF=2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠BAC=30°，
∴AC=2BC=2×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{3}）^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=12．

点评 此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，得出△AOE≌△COF（AAS）是解题关键．