Question

如图，在反比例函数y=

2

x

（x＞0）的图象上有点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1，A_n，这些点的横坐标分别是1，2，3，…，n-1，n时，点A₂的坐标是

 

；过点A₁作x轴的垂线，垂足为B₁，再过点A₂作A₂P₁⊥A₁B₁于点P₁，以点P₁、A₁、A₂为顶点的△P₁A₁A₂的面积记为S₁，按照以上方法继续作图，可以得到△P₂A₂A₃，…，△P_n-1A_n-1A_n，其面积分别记为S₂，…，S_n-1，则S₁+S₂+…+S_n=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：规律型

分析：求出x=2所对应的函数值即可确定A₂的坐标；根据反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到S₁=

1

2

×1×（2-1），S₂=

1

2

×1×（1-

2

3

），S₃=

1

2

×1×（

2

3

-

2

4

），…，S_n=

1

2

×1×（

2

n

-

2

n+1

），然后把它们相加后合并即可．

解答：解：把x=2代入y=

2

x

得y=1，
∴点A₂的坐标为（2，1）；
∵S₁=

1

2

×1×（2-1），S₂=

1

2

×1×（1-

2

3

），S₃=

1

2

×1×（

2

3

-

2

4

），…，S_n=

1

2

×1×（

2

n

-

2

n+1

），
∴S₁+S₂+…+S_n=

1

2

（2-1+1-

2

3

+

2

3

-

2

4

+…+

2

n

-

2

n+1

）=

1

2

（2-

2

n+1

）=

n

n+1

．
故答案为（2，1）； 

n

n+1

．

点评：本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=

k

x

图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．