Question

已知如图：△ABC、△DCE均为等腰直角三角形，其中AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠D=90°，将△DCE绕点C旋转，两边分别交AB于M、N．若AM=3，BN=4，则△CMN的面积为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,旋转的性质

专题：

分析：首先作∠1=∠2，截取CF=CM，连接BF，NF，得出△ACM≌△BCF（SAS），进而得出FN的长，再得出△MCN≌△NCF（SAS），MN的长，即可得出CQ=

1

2

AB=6，进而求出△CMN的面积．

解答：解：作∠1=∠2，截取CF=CM，连接BF，NF，过点C作CQ⊥AB于点Q，
∵△ABC、△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABC=∠DCE=45°，AC=BC，
在△ACM和△BCF中，

AC=CB ∠1=∠2 CM=CF

，
∴△ACM≌△BCF（SAS），
∴∠A=∠CBF=45°，BF=AM=3，
∴∠NBF=90°，
∴在Rt△NFB中，FN=

32+42

=5，
∵∠1=∠2，∠1+∠BCN=45°，
∴∠NCF=∠2+∠NCB=45°，
∴∠MCN=∠NCF，
在△MCN和△NCF中

MC=FC ∠MCN=∠NCF CN=CN

，
∴△MCN≌△NCF（SAS），
∴MN=NF=5，
∴AB=AM+BN+MN=12，
∵AC=BC，∠ACB=90°，CQ⊥AB，
∴CQ=

1

2

AB=6，
∴S_△CMN=

1

2

×MN×CQ=

1

2

×6×5=15．
故答案为：15．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质和勾股定理等知识，正确作出辅助线得出MN的长是解题关键．