Question

19．如图，在Rt△ABC内有三个正方形PQRD，DEFG和EMHN，它们的边长分别为a，b，c，试探究a，b，c之间的数量关系．

Answer 1

分析 因为Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是△DHE和△GQF，只要它们相似即可得出所求的结论．

解答 解：如图，

∵DH∥AB∥QF
∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B；
又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°；
∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ；
∴△DHE∽△GQF，
∴$\frac{DH}{GQ}=\frac{EH}{FQ}$，
∴$\frac{a}{b-c}$=$\frac{b-a}{c}$，
∴ac=（b-c）（b-a）
∴b²=ab+bc=b（a+c），
∴b=a+c．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握三角形的判定和性质定理是解题的关键．