Question

8．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足为D、E，试说明DE=$\frac{1}{2}$BC．

Answer 1

分析 由BD⊥AC，CE⊥AB得到∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB可判断△AEC∽△ADB，则$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$，利用比例性质得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的判定方法即可得△ADE∽△ABC；再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC=2AE，然后根据△ADE∽△ABC，运用相似比克得到BC=2DE．

解答 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵∠EAC=∠DAB，
∴△AEC∽△ADB，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
又∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC，
∵在Rt△AEC中，∠A=60°，
∴∠ACE=30°，
∴AC=2AE，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
即$\frac{AE}{2AE}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．