Question

5．若a是整数，且a²+2004a是一个正整数的平方，求a的最大值．

Answer 1

分析 把上式看作一个关于a的一元二次方程，直接由求根公式得出方程的根，进而利用分类讨论得出k，m所有的可能取值进而得出答案．

解答 解：依题意设a²+2004a=m²，m为正整数，
整理为：a²+2004a-m²=0
把上式看作一个关于a的一元二次方程，
由求根公式得出：a=$\frac{-2004±\sqrt{200{4}^{2}+4{m}^{2}}}{2}$=-1002±$\sqrt{100{2}^{2}+{m}^{2}}$，
其中负值舍去，所以只能是：a=-1002+$\sqrt{100{2}^{2}+{m}^{2}}$，
可以看作，要使a最大，就要使m最大即可，由于a是正整数，所以（1002²+m²）必须是完全平方数，
可设（1002²+m²）=k²，
整理为：k²-m²=1002²，（k+m）（k-m）=2×2×3×3×167×167，
显然k+m＞k-m，二者奇偶性相同，所以有以下几种情形：
①k-m=2，k+m=2×3×3×167×167=502002，
解之，得：k=251002，m=251000，
②k-m=2×3=6，k+m=2×3×167×167=167334，
解之，得：k=83670，m=83664；
③k-m=2×3×3=18，k+m=2×167×167=55778，
解之，得：k=27898，m=27880；
④k-m=2×167=334，k+m=2×3×3×167=3006；
解之，得：k=1670，m=1336，
由以上不难看出，m最大为：m=251000，可求得此时最大的a为：a=250000．

点评 此题主要考查了完全平方数以及一元二次方程的解，正确利用分类讨论得出是解题关键．