Question

13．已知关于x的一元二次方程x²-3x+k-2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）选一个适当的k值使得此一元二次方程的根都是整数．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=17-4k＞0，解之即可得出k的取值范围；
（2）由△=17-4k可得出，当k=4时，△=1是完全平方数，将k=4代入原方程，求出方程的两个实数根，此题得解．

解答 解：（1）∵方程x²-3x+k-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-3）²-4×1×（k-2）=17-4k＞0，
解得：k＜$\frac{17}{4}$．
（2）当k=4时，△=17-4k=1是完全平方数，
此时原方程为x²-3x+2=（x-1）（x-2）=0，
解得：x₁=1，x₂=2．
∴当k=4时，此一元二次方程的根都是整数．

点评 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的实数根，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=17-4k＞0；（2）找出k=4时，△=17-4k=1是完全平方数．