Question

4．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．
（1）求证：AG是⊙O的切线
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA．依据等腰三角形的性质可得到∠B=∠BAO，∠GEA=∠GAE，从而可证名∠B+∠BEF=90°，通过等量代换可得到∠BAO+∠GAE=90°，即OA⊥AG；
（2）由直径所对的圆周角等于90°可得到∠BAC=90°，依据勾股定理可求得BC=10，则⊙O的半径为5，
锐角三角函数的定义可知cosB=$\frac{BF}{EB}$=$\frac{AB}{BC}$，故此可求得BF的长，最后依据OF=OB-BF求解即可．

解答 解：（1）连接OA．

∵OA=OB，GA=GE，
∴∠B=∠BAO，∠GEA=∠GAE．
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠B+∠BEF=90°，
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE=90°，
∴OA⊥AG．
又∵OA是半径，
∴AG是⊙O的切线．

（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC=90°．
又∵AC=6，AB=8，
∴在Rt△BAC中，根据勾股定理，得BC=10，
∴OB=5．
又∵BE=3，
∴在Rt△BEF和Rt△BCA中，cosB=$\frac{BF}{EB}$=$\frac{AB}{BC}$．
∴$\frac{BF}{3}$=$\frac{8}{10}$，解得：BF=2.4．
∴OF=OB-BF=5-2.4=2.6．

点评 本题主要考查的是切线的判定定理、圆周角定理、锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．