Question

如图，点A，B，C，D都在⊙O上，

CD

的度数等于74°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD+∠CAO=

 

°．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：

分析：在等腰△OAC和△OCD中，根据等腰三角形的两个底角相等的性质求得∠OCD=∠ODC、∠CAO=∠OCA，所以由三角形的内角和求得∠OCD=53°；然后根据角平分线的性质求得∠OCA=∠ACD=24°；最后由圆周角定理知：∠ABD=

1

2

∠AOD，∠OCA=

1

2

∠AOD．所以∠ABD=∠CAO，进而求得∠ABD+∠CAO=53°．

解答：解：∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等，
∴

CD

的度数等于74°，即∠COD=74°；
在△COD中，OC=OD（⊙O的半径），
∴∠OCD=∠ODC（等边对等角）；
又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，
∴∠OCD=53°；
而CA是∠OCD的平分线，
∴∠OCA=∠ACD，
∴∠OCA=∠ACD=26.5°；
在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），
∴∠CAO=∠OCA（等边对等角）；
∵∠ABD=

1

2

∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∠DCA=

1

2

∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠ABD=∠DCA，
∴∠ABD+∠CAO=53°；
故答案为：53．

点评：本题综合考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键点是利用“圆心角的度数和它所对的弧的度数相等”求得∠COD=74°．