Question

5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD=BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；
（3）若F为GE中点，且DE=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据AC为⊙O直径，得到∠ADC=∠CBA=90°，通过全等三角形得到CD=AB，推出四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到NB=$\frac{1}{2}$MF=NF，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB是⊙O的切线；
（3）根据垂径定理得到DE=GE=6，根据四边形ABCD是矩形，得到∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠FAE=∠ADE，推出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质列比例式得到AE=3$\sqrt{2}$，连接OD，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC=∠CBA=90°，
在Rt△ADC与Rt△CBA中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA，
∴CD=AB，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠CBA=90°，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）连接OB，
∵∠MBF=∠ABC=90°，
∴NB=$\frac{1}{2}$MF=NF，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵OB=OA，
∴∠5=∠4，
∵DG⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴OB⊥NB，
∴NB是⊙O的切线；

（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，
∴DE=GE=6，
∵F为GE中点，
∴EF=GF=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠FAE+∠DAE=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠FAE=∠ADE，
∵∠AEF=∠DEA=90°，
∴△AEF∽△DEA，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{EF}{AE}$，
∴AE=3$\sqrt{2}$，
连接OD，设⊙O的半径为r，
∴OA=OD=r，OE=r-3$\sqrt{2}$，
∵OE²+DE²=OD²，
∴（r-3$\sqrt{2}$）²+6²=r²，
∴r=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∴⊙O的半径是$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键．