Question

10．已知两个一次函数y₁=$\frac{a}{2}$x+2-a和y₂=-$\frac{2}{{a}^{2}}$x+2+$\frac{4}{{a}^{2}}$．
（1）点（2，2）是否在这两个一次函数的图象上？为什么？
（2）当a=2时，求这两个一次函数图象与x轴所围成的三角形的面积；
（3）当a满足0＜a＜2时，求这两个一次函数图象与两坐标轴所围成的四边形面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）将x=2代入两个函数解析式求出y的值，看是否等于2，即可判断．
（2）求出两个函数图象与x轴的交点坐标，以及两个函数图象的交点即可解决问题．
（3）画出图形，用分割法求面积，利用二次函数的性质解决这种问题．

解答 解：（1）点（2，2）在这两个一次函数的图象上．
理由：∵x=2时，y₁=$\frac{a}{2}$×2+2-a=2，y₂=-$\frac{2}{{a}^{2}}$×2+2+$\frac{4}{{a}^{2}}$=2，
∴点（2，2）在这两个一次函数的图象上．
（2）a=2，y₁=x由x轴交于点（0，0），y₂=-$\frac{1}{2}$x+3与x轴交于点（6，0）．
∵（2，2，）是这两个一次函数的图象的交点，
∴这两个一次函数图象与x轴所围成的三角形的面积为：$\frac{1}{2}$×6×2=6．
（3）如图所示，

∵A（2，2），B（a²+2，0），C（0，2-a），
∴这两个一次函数图象与两坐标轴所围成的四边形面积S=S_△AOC+S_△AOB=$\frac{1}{2}$×（2-a）×2+$\frac{1}{2}$×（a²+2）×2=a²-a+4=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
∴a=$\frac{1}{2}$时，S最小值=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查两条直线相交、平行、一次函数、二次函数等知识，解题的关键是理解点（2，2）是两个函数图象的交点，学会利用二次函数的性质解决这种问题，属于中考常考题型．