Question

18．已知，已知函数y=-$\frac{1}{2}$x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=2x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（a≠2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=-$\frac{1}{2}$x+b和y=2x的图象于点C、D．
（1）求OB的长；
（2）当a=4时，连接BD、OC，试判断四边形BOCD的形状，并说明理由；
（3）若CD=2OB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把M点坐标代入y=2x可求得M点的坐标，再代入y=-$\frac{1}{2}$x+b可求得b的值，则可求得B点坐标，从而可求得OB的值；
（2）可先求得C、D的坐标，从而可求得CD的长，可判断四边形BOCD的形状；
（3）用a可表示出CD的长，由条件可得到关于a的方程，可求得a的值．

解答 解：
（1）∵点M在函数y=2x的图象上，且横坐标为2，
∴y=2×2=4，
∴M（2，4），
∵点M在函数y=-$\frac{1}{2}$x+b上，
∴4=-$\frac{1}{2}$×2+b，解得b=5，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+5，
∴B（0，5），
∴OB=5；

（2）由题意可知P（4，0），
则C、D的横坐标为4，
在y=-$\frac{1}{2}$x+5中，令x=4可得y=-$\frac{1}{2}$×4+5=3，在y=2x中，令x=4可得y=8，
∴C（4，5），D（4，8），
∴CD=8-3=5=OB，且CD∥OB，
∴四边形BOCD为平行四边形；

（3）同（2）可求得C（a，-$\frac{1}{2}$a+5），D（a，2a），
∴CD=2a-（-$\frac{1}{2}$a+5）=$\frac{3}{2}$a-5，
当CD=2OB时，则有$\frac{3}{2}$a-5=10，解得a=10．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、平行四边形的判定、方程思想等知识．在（1）中求得b的值是解题的关键，在（2）中求得CD的长是解题的关键，在（3）中用a表示出CD的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．