Question

3．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）

（1）图①中长方形的面积S₁=m²+8m+7
图②中长方形的面积S₂=m²+6m+8
比较：S₁＞S₂（填“＜”、“=”或“＞”）
（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则
①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；
②试说明：该正方形面积S与图①中长方形面积S₁的差（即S-S₁）是定值．
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S₁、S₂之间（不包括S₁、S₂）并且面积为整数，这样的整数值有且只有20个，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）根据矩形和正方形的周长和面积公式即可得到结论；
（3）根据题意即可得到结论．

解答 解：（1）图①中长方形的面积S₁=（m+7）（m+1）=m²+8m+7，
图②中长方形的面积S₂=（m+4）（m+2）=m²+6m+8，
比较：∵S₁-S₂=2m-1，m为正整数，m最小为1
∴2m-1≥1＞0，
∴S₁＞S₂；
故答案为：m²+8m+7，m²+6m+8，＞；
（2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4；
②S-S₁=（m+4）²-（m²+8m+7）=9定值；
（3）由（1）得，S₁-S₂=2m-1，
∴当20＜2m-1≤21时，
∴$\frac{21}{2}$＜m≤21，
∵m为正整数，
∴2m-1=21 
 m=11．

点评 本题考查了完全平方方公式的几何背景，多项式的乘法法则，熟记多项式的乘法法则是解题的关键．