Question

12．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）．若反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（　　）

• A． 2≤k≤3
• B． 2≤k≤4
• C． 3≤k≤4
• D． 2≤k≤3.5

Answer 1

分析 根据△ABC三顶点的坐标可知，当k最小是反比例函数过点A，当k取最大值时，反比例函数与直线相切，且切点在线段BC上，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的最小值，再由点B、C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式，将其代入反比例函数中，令△=0即可求出k的最大值，从而得出结论．

解答 解：当反比例函数过点A时，k值最小，
此时k=1×2=2；
∵1×3=3×1，
∴反比例函数图象与直线BC的切点在线段BC上，
设直线BC的解析式为y=ax+b，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{3=a+b}\\{1=3a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
将y=-x+4代入y=$\frac{k}{x}$中，得：-x+4=$\frac{k}{x}$，
即x²-4x+k=0，
∵反比例函数图象与直线BC只有一个交点，
∴△=（-4）²-4k=0，
解得：k=4．
综上可知：2≤k≤4．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及根的判别式，解题的关键是求出k的最小值与最大值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标利用待定系数法求出直线解析式，将其代入反比例函数中利用相切求出k值是关键．