Question

17．已知关于x的方程x²-3x+2-m²=0
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是-1，求m得值及方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b²-4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况；
（2）直接代入x=-1，求得m的值后，解方程即可求得另一个根．

解答 （1）证明：∵a=1，b=3，c=2-m²，
∴△=3²-4×1×（2-m²）=4m²+1，
∵无论m取何值，m²≥0，
∴4m²+1＞0，即△＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：把x=-1代入原方程得1+3+2-m²=0
解得m=±$\sqrt{6}$，
故原方程化为x²-3x-4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4，
即另一个根为x=4．

点评 本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．