Question

如图，已知矩形ABCD的边AB=1，M是边AD上的动点，直线l过M与对角线AC垂直，垂足为E，且

AE

EC

=

1

4

．
（1）若直线l过B点，求AD的长；
（2）写出AD的取值范围，不必说明理由；
（3）若直线l分矩形ABCD的两部分的面积比是1：10，设直线l与矩形的另一边相交于H，AH=x．请用含x的代数式表示AD．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据两角相等的两个三角形相似，可得△ABE∽△BCE，根据形似三角形的性质，可得

AB

BC

=

AE

BE

=

BE

CE

，根据等量代换，可得答案；
（2）根据△ABE∽△BCE，可得

AB

BC

=

1

2

或

AB

BC

=

2

1

，可得答案；
（3）根据三角形相似，可得

AH

AM

=

AD

DC

，根据面积的比，可得即

1 2 AH•AM

AD

=

1

11

，根据等量代换，可得AM²，根据等比形式，可得答案．

解答：解：（1）∵∠ABE=∠BCE，∠AEB=∠BEC，
∴△ABE∽△BCE，
∴

AB

BC

=

AE

BE

=

BE

CE

∵

AE

EC

=

1

4

，
∴

AB

BC

=

1

2

∵AB=1，
∴AD=BC=2；
（2）

1

2

≤x≤2；
（3）当直线l过点B时，可分矩形梁部分的面积是

1

7

，则H必在AB上，
∵△AHM∽△DCA，
∴

AH

AM

=

AD

DC

∵CD=1，
∴

AH

AM

=AD
依题意可知，

S△AMH

S矩形ABCD

=

1

11

∴

1 2 AH•AM

AD•DC

=

1

11

，即

1 2 AH•AM

AD

=

1

11

，
∴AM 2=

2

11

，
AM=

22

11

即AD=

22

2

x．

点评：本题考查了相似综合题，利用了相似三角形的判定与性质，利用了面积的比，得出AM的值是解题关键．