Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BC于点E．
（1）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G．若AC=3

2

，AF：FD=1：2．求⊙O的半径；
（2）在（1）的条件下，若GF=

3

，求sin∠ACB的值．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）首先设AF=x，进而得出FD=2x，AD=3x，再利用射影定理直接得出AC²=AF•AD，求出x的值即可；
（2）首先利用勾股定理得出AG的长，进而得出sin∠ADB的值再利用圆周角定理得出答案．

解答：解：（1）设AF=x，∵AF：FD=1：2，
∴FD=2x，∴AD=AF+FD=3x，
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC²=AF•AD，
即3x²=18，
解得：x=

6

，
∴⊙O半径为

3 6

2

，

（2）在Rt△AFG中，根据勾股定理得：AG=

AF2+GF2

=3，AB=6，
连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=

AB

AD

，AD=3

6

，
∴sin∠ADB=

6

3

，
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACE=

6

3

．

点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系和圆周角定理等知识，得出sin∠ADB的值是解题关键．