Question

3．已知点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），平移抛物线y=ax²+bx+c（a＜0），该抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点．
（1）点C横坐标的最大值是1-$\sqrt{-\frac{3}{a}}$；
（2）若四边形ACDB为平行四边形，则a的值是-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）当点C横坐标取得最大值时，抛物线顶点坐标是（1，3），根据顶点公式求得b=-2a，b²-4ac=-12a，然后根据交点坐标公式得出C横坐标的最大值．
（2）若四边形ACDB为平行四边形，则CD=AB=3，设此时C（x₁，0），D（x₂，0），根据二次函数和方程的关系得出x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，根据矩形的性质得出|x₁-x₂|=3，经过变形即可求得a的值．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当顶点运动到B（1，3）时，点C的横坐标最大，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=3，
∴b=-2a，b²-4ac=-12a，
∴x=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{2a-\sqrt{-12a}}{2a}$=$\frac{2a-2\sqrt{-3a}}{2a}$=1-$\sqrt{-\frac{3}{a}}$
即C的横坐标的最大值是1-$\sqrt{-\frac{3}{a}}$；
故答案为1-$\sqrt{-\frac{3}{a}}$；

（2）若四边形ACDB为平行四边形，则CD=AB=3，
设此时C（x₁，0），D（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-4×\frac{c}{a}}$=3，
∵顶点的纵坐标为$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=3，
∴b²-4ac=-12a，
∴$\sqrt{-\frac{12}{a}}$=3，
∴9a=-12，解得a=-$\frac{3}{4}$．
故答案为-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与几何变换，平行四边形的性质，理解题意并根据二次函数和方程的关系列出关系式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．