Question

2．关于x的方程|x²-2|=m-x有3个互不相同的解，则m的最大值为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 画出函数y=|x²-2|的图象与y=-x+m图象，由图象可知直线y=-x+m经过点（$\sqrt{2}$，0）时，方程有3个互不相同的解，可得m=$\sqrt{2}$；当直线y=-x+m在0＜x＜$\sqrt{2}$时，与y=2-x²只有一个交点时，方程有3个互不相同的解，即可得x²-x+m-2=0有两个相等实数根，由根的判别式可得m的值．

解答 解：如图，方程|x²-2|=m-x的解即函数y=|x²-2|的图象与y=-x+m图象交点的横坐标，

而直线y=-x+m可由y=-x平移|m|个单位得到，
当直线y=-x+m经过点（$\sqrt{2}$，0）时，方程有3个互不相同的解，可得m=$\sqrt{2}$；
当直线y=-x+m在0＜x＜$\sqrt{2}$时，与y=2-x²只有一个交点时，方程有3个互不相同的解，
∴方程2-x²=m-x，即x²-x+m-2=0有两个相等实数根，
∴△=1-4（m-2）=0，
解得：m=$\frac{9}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查一元二次方程的解，将方程的解转化为函数图象交点问题是解题的关键．