Question

14．观察下列各式的计算结果：
1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$            
1-$\frac{1}{{3}^{2}}$=1-$\frac{1}{9}$=$\frac{8}{9}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$    
1-$\frac{1}{{4}^{2}}$=1-$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{16}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$   
1-$\frac{1}{{5}^{2}}$=1-$\frac{1}{25}$=$\frac{24}{25}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{6}{5}$          
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1-$\frac{1}{{6}^{2}}$=$\frac{5}{6}$×$\frac{7}{6}$       
1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$；
（2）用你发现的规律计算：
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）×…×（1-$\frac{1}{201{6}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{201{7}^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）根据题意可知1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{n}{n+1}$×$\frac{n+2}{n+1}$，据此可得n=6、n=9时的式子；
（2）根据以上规律将算式展开后约分可得．

解答 解：（1）根据题意可知1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{n}{n+1}$×$\frac{n+2}{n+1}$，
∴当n=6时，1-$\frac{1}{{6}^{2}}$=$\frac{5}{6}$×$\frac{7}{6}$，
当n=9时，1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$，
故答案为：$\frac{5}{6}$，$\frac{7}{6}$，$\frac{9}{10}$，$\frac{11}{10}$；

（2）原式=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{2015}{2016}$×$\frac{2017}{2016}$×$\frac{2016}{2017}$×$\frac{2018}{2017}$
=$\frac{1009}{2017}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据已知算式总结出其变化的规律并运用规律解题是解答的关键．