Question

7．如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①图中只有2对全等三角形 
②AE=CF； 
③△EPF是等腰直角三角形；
④S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
⑤EF的最小值为$\sqrt{2}$．
上述结论始终正确的有②③④⑤（填序号）．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定定理、全等三角形的性质定理判断即可．

解答 解：∵AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵点P是BC的中点，
∴∠BAP=∠CAP=45°，
∵∠EPF=90°，
∴∠BPE+∠EPA=90°，
∴∠BPE=∠APF，∠EPA=∠FPC，
在△BPE和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPE=∠APF}\\{∠B=∠PAF}\\{BP=AP}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△APF，
∴△EPA≌△FPC，△APC≌△APB，有3对全等三角形，①错误；
∵△EPA≌△FPC，
∴AE=CF，②；
∵△BPE≌△APF，
∴PE=PF，又∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形，③正确；
∵△BPE≌△APF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，④正确；
由②知，△EPF是等腰直角三角形，则EF=$\sqrt{2}\sqrt{2}$EP．当EP⊥AB时，EP去最小值，此时EP=$\frac{1}{2}$AB，则EF_最小值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$．故⑤正确，
故答案为：②③④⑤．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．