题目内容
如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y=| k |
| x |
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
考点：反比例函数综合题
专题：综合题
分析：（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，可得三角形ODH与三角形OBA相似，根据D点的横坐标是它的纵坐标的2倍及E（4，n），求出AB的长即可；
（2）由D为OB的中点，以及B坐标求出D坐标，把D代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把E坐标代入反比例解析式求出n的值即可；
（3）由折叠的性质得到三角形OGH与三角形FGH全等，利用全等三角形的对应边相等得到OG=FG，由F在反比例图象上，确定出F坐标，进而求出CF的长，在三角形CFG中，设OG=FG=x，可得CG=2-x，利用勾股定理求出x的值，即为OG的长．
（2）由D为OB的中点，以及B坐标求出D坐标，把D代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把E坐标代入反比例解析式求出n的值即可；
（3）由折叠的性质得到三角形OGH与三角形FGH全等，利用全等三角形的对应边相等得到OG=FG，由F在反比例图象上，确定出F坐标，进而求出CF的长，在三角形CFG中，设OG=FG=x，可得CG=2-x，利用勾股定理求出x的值，即为OG的长．
解答：
解：（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，
∵D点的横坐标是它的纵坐标的2倍，即OM=2DM，
∴OA=2AB，
∵E（4，n），即OA=4，AE=n，
∴AB=2；
（2）∵D为OB中点，B（4，2），
∴D（2，1），
把D（2，1）代入y=
中，得1=
，即k=2，
∴反比例函数解析式为y=
，
把E（4，n）代入反比例解析式得：n=
=
；
（3）由F（1，2），得到CF=1，
由折叠得：△OGH≌△FGH，
∴OG=FG，
∵OC=AB=2，
设OG=FG=x，得到CG=2-x，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG2=CG2+CF2，即x2=（2-x）2+1，
整理得：4x=5，
解得：x=
，
则OG=
．
解：（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，∵D点的横坐标是它的纵坐标的2倍，即OM=2DM，
∴OA=2AB，
∵E（4，n），即OA=4，AE=n，
∴AB=2；
（2）∵D为OB中点，B（4，2），
∴D（2，1），
把D（2，1）代入y=
| k |
| x |
| k |
| 2 |
∴反比例函数解析式为y=
| 2 |
| x |
把E（4，n）代入反比例解析式得：n=
| 2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（3）由F（1，2），得到CF=1，
由折叠得：△OGH≌△FGH，
∴OG=FG，
∵OC=AB=2，
设OG=FG=x，得到CG=2-x，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG2=CG2+CF2，即x2=（2-x）2+1，
整理得：4x=5，
解得：x=
| 5 |
| 4 |
则OG=
| 5 |
| 4 |
点评：此题属于反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定反比例解析式，以及折叠的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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