Question

18．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），以AB为边作正方形ABCD，则该正方形的对角线交点坐标是（1，$\sqrt{2}$）或（1-$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 分两种情况：
①点D在第一象限时，作DE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则∠AED=∠BFA=90°，求出AF=OA+OF=BF，得出△ABF是等腰直角三角形，再证出△ADE是等腰直角三角形，得出DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，OE=OA+AE=1+$\sqrt{2}$，得出点D的坐标为（1+$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），即可得出结果；
②点D在第三象限时，由①得出正方形的对角线交点N的坐标为（1-$\sqrt{2}$，0），即可得出结果．

解答 解：分两种情况：
①点D在第一象限时，如图1所示：
作DE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则∠AED=∠BFA=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∵A（1，0），B（1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴OA=1，BF=$\sqrt{2}$，OF=$\sqrt{2}$-1，
∴AF=OA+OF=1+$\sqrt{2}$-1=$\sqrt{2}$=BF，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BAF=45°，
∴AB=$\sqrt{2}$AF=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，
∴OE=OA+AE=1+$\sqrt{2}$，
∴点D的坐标为（1+$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴BD的中点M的坐标为（1，$\sqrt{2}$），
即正方形的对角线交点坐标是（1，$\sqrt{2}$）；
②点D在第三象限时，如图2所示：
由①得：正方形的对角线交点N的坐标是（1-$\sqrt{2}$，0）；
综上所述：该正方形的对角线交点坐标是（1，$\sqrt{2}$）或（1-$\sqrt{2}$，0）；
故答案为：（1，$\sqrt{2}$）或（1-$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，由点的坐标得出等腰直角三角形是解决问题的关键，本题需要分类讨论．