Question

8．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求点C的坐标；
（2）证明不论a取任何实数，△BOP的面积都是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由直线AB解析式可求得A、B坐标，过点C作CE⊥x轴于点E，则可证明△ABO≌△CAE，则可求得OE和CE的长，可求得C点坐标；
（2）由题意可知P到y轴的距离为1，且OB为定值，则可求得△BOP的面积；
（3）当点P在第四象限时，可由S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP得到关于a的方程，当点P在第一象限时，可由S_△ABP=S_△BOP+S_△APO-S_△ABO得到关于a的方程，可求得a的值．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令x=0可得y=1，令y=0可求得x=2，
∴A（2，0），B（0，1），
如图1，过点C作CE⊥x轴于点E，

∵∠BOA=∠AEC=90°，
∴∠OBA+∠BAO=∠BAO+∠CAE=90°，
∴∠OBA=∠CAE，
在△ABOt△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CEA}\\{∠OAB=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴AE=BO=1，CE=AO=2，
∴OE=3，CE=2，
∴C（3，2）；
（2）不论a取任何实数，△BOP都可以看成是以BO为底，点P到y轴的距离1为高的三角形，
∴S_△BOP=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∴不论a取任何实数，△BOP的面积都是一个常数；
（3）∵A（2，0），B（0，1），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{5}{2}$，
当点P在第四象限时，如图2，则a＜0，

∵S_△ABO=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×1×2=1，S_△APO=$\frac{1}{2}$OA•（-a）=-a，S_△BOP=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC，即1+（-a）-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴a=-2；
当点P在第一象限时，如图3，则a＞0，

∵S_△ABO=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×1×2=1，S_△APO=$\frac{1}{2}$OA•a=a，S_△BOP=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△APO-S_△ABO=S_△ABC，即$\frac{1}{2}$+a-1=$\frac{5}{2}$，
∴a=3；
综上可知当△ABC和△ABP的面积相等时a的值为-2或3．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中确定出BO和点P到y轴的距离是解题的关键，在（3）中利用a表示出△ABP的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．