Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABOD的边OD，BO在坐标轴上，正方形边长为4，直线y=2x+2与y轴交于点E，与x轴交于点F．
（1）求直线AE的函数关系式和点F的坐标；
（2）在直线AD上是否存在点P使得△AFP为等腰三角形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可求得A点坐标，在直线y=2x+2中可求得E点和F点坐标，利用待定系数法可求得直线AE解析式；
（2）可设出点P的坐标为（-4，y），则可表示出AP、FP，且可求得AF，当△AFP为等腰三角形时，则有AP=FP、AP=AF和FP=AF三种情况，可得得到关于y的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）在y=2x+2中，令y=0可得2x+2=0，解得x=-1，令x=0可得y=2，
∴F（-1，0），E（0，2），
∵四边形ABOD为正方形，且边长为4，
∴AD=AB=4，
∴A（-4，4），
设直线AE解析式为y=kx+b（k≠0），则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AE解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）存在．
理由如下：
∵四边形ABOD为正方形，
∴AD⊥x轴，
∴直线AD解析式为x=-4，
∴设P（-4，y），
∵A（-4，4），F（-1，0），
∴AP=|y-4|，PF=$\sqrt{（-4+1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{y}^{2}+9}$，AF=$\sqrt{（-4+1）^{2}+{4}^{2}}$=5，
当△AFP为等腰三角形时，有AP=FP、AP=AF和FP=AF三种情况，
①当AP=FP时，即|y-4|=$\sqrt{{y}^{2}+9}$，解得y=$\frac{7}{8}$，此时P点坐标为（-4，$\frac{7}{8}$）；
②当AP=AF时，即|y-4|=5，解得y=9或y=-1，此时P点坐标为（-4，9）或（-4，-1）；
③当FP=AF时，即$\sqrt{{y}^{2}+9}$=5，解得y=4或-4，当y=4时，P与A点重合，舍去，
∴P点坐标为（-4，-4）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（-4，$\frac{7}{8}$）或（-4，9）或（-4，-1）或（-4，-4）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及正方形的性质、勾股定理、待定系数法、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得E点坐标是解题的关键，注意待定系数法的应用步骤，在（2）中利用方程思想，设出P点坐标，分别表示出AP、FP的长度是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．