Question

14．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，连BE，CE，BC边上有一动点P，PM⊥EB，PN⊥EC．探究：
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PMEN也是矩形？
（2）在（1）的条件下，当点P运动到BC的中点时，PM与PN有何数量关系？

Answer 1

分析 （1）由SAS证明∴△ABE≌△DCE，得出∠AEB=∠DEC，由矩形的性质得出∠BEC=90°，得出∠AEB=∠DEC=45°证出AE=DE=DC，即AD=2DC．
（2）由全等三角形的性质得出EB=EC．证出M是BE的中点，N是CE的中点，得出EM=EN，证出四边形PMEN是正方形，即可得出PM=PN．

解答 解：（1）当矩形ABCD的长是宽的2倍时．四边形PMEN为矩形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
又∵点E是矩形ABCD的边AD的中点．
∴AE=DE，
在△ABE和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}&{\;}\\{∠A=∠D}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠AEB=∠DEC，
∵四边形PMEN为矩形，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEB=∠DEC=45°
∴AE=DE=DC，即AD=2DC．
∴当矩形ABCD的长是宽的2倍时；四边形PMEN为矩形；
（2）PM=PN，理由如下：
∵△AEB≌△DEC，
∴EB=EC．
∵四边形PMEN为矩形，
∴PN∥EB，PM∥EC
又∵点P是BC中点，
∴M是BE的中点，N是CE的中点，
∴EM=EN，
∴四边形PMEN是正方形，
∴PM=PN．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．