课本中有一道作业题:有一块三角形余料ABC.它的边BC=120mm.高AD=80mm．要把它加工成正方形零件.使正方形的一边在BC上.其余两个顶点分别在AB.AC上．(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形.且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成.如图1.此时.这个矩形零件的两条边长又分别为多少?请你计� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

分析（1）设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到$\frac{x}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，然后根据比例性质求出x即可；
（2）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，然后与（1）的方法一样求解；
（3）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．

解答解：（1）如图1，设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{x}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，
解得x=48．
∴加工成的正方形零件的边长是48mm；

（2）如图2，设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{2x}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，
解得：x=$\frac{240}{7}$，
∴2x=$\frac{480}{7}$，
∴这个矩形零件的两条边长分别为$\frac{240}{7}$mm，$\frac{480}{7}$mm；

（3）如图3，设PN=x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm²），
由条件可得△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{120}$=$\frac{80-PQ}{80}$，
解得：PQ=80-$\frac{2}{3}$x．
则S=PN•PQ=x（80-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
故S的最大值为2400mm²，此时PN=60mm，PQ=80-$\frac{2}{3}$×60=40（mm）．