Question

15．如图所示，△ABC为等边三角形，DB=DE，∠BDE=120°，F为CE的中点，求证：AF⊥DF．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，作DN⊥BE于N．延长ND交FM于H，连结FN，如图，根据等边三角形的性质得BM=CM，AM=$\sqrt{3}$BM，再根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到BN=EN，EN=$\sqrt{3}$DN，则可判断FN、FM为△EBC的中位线，所以FN=$\frac{1}{2}$BC=BM，FN∥BC，FM=$\frac{1}{2}$BE=EN，则AM⊥NF，NH⊥FM，于是可利用等角的余角相等可得∠DNF=∠HMA，加上$\frac{FM}{DN}$=$\frac{AM}{NF}$=$\sqrt{3}$，则可判断△AMF∽△FND得到∠FAM=∠NFD，接着计算出∠AFD=90°，所以AF⊥DF．

解答 证明：作AM⊥BC于M，作DN⊥BE于N．延长ND交FM于H，连结FN，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BM=CM，AM=$\sqrt{3}$BM，
∵DB=DE，∠BDE=120°，
∴BN=EN，∠DEN=30°，
∴EN=$\sqrt{3}$DN，
∵F为CE的中点，
∴FN、FM为△EBC的中位线，
∴FN=$\frac{1}{2}$BC=BM，FN∥BC，FM=$\frac{1}{2}$BE=EN，
∴AM⊥NF，NH⊥FM，
∴∠DNF=∠HMA，
∵$\frac{FM}{DN}$=$\frac{EN}{DN}$=$\sqrt{3}$，$\frac{AM}{NF}$=$\frac{AM}{BM}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{FM}{DN}$=$\frac{AM}{NF}$，
∴△AMF∽△FND，
∴∠FAM=∠NFD，
∴∠AFN+∠NFD=∠FAM+∠AFN=90°，即∠AFD=90°，
∴AF⊥DF．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；利用三角形相似的性质计算有关线段的长．也考查了三角形中位线定理和等边三角形的性质．