Question

8．如图，点P，D分别是⊙O上的动点、定点、非直径弦CD⊥直径AB，当点P与点C重合时，易证：∠DPB+∠ACD=90°，在不考虑点P于点B或点D重合的情况下，试解答如下问题：
（1）当点P与点A重合时（如图1），∠DPB+∠ACD=90度．
（2）当点P在$\widehat{AC}$上时（如图2），（1）中的结论还成立吗？请给予证明．
（3）当点P在$\widehat{BD}$上时，先写出∠DPB与∠ACD的数量关系，再说明其理由．

Answer 1

分析 （1）先根据垂径定理得出AC=AD，故可得出∠ACD=∠ADC，∠AED=90°，再由∠DPB+∠ADC=90°即可得出结论；
（2）先根据垂径定理得出$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，再由∠A+∠ACD=90°即可得出结论；
（3）连接AP，则∠BPD=∠BPA+∠APD，由圆周角定理得出∠BPA=90°，∠ACD=∠APD，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵弦CD⊥直径AB，
∴CE=DE，∠AED=90°，
∴∠ACD=∠ADC，∠AED=90°．
∵∠DPB+∠ADC=90°，
∴∠DPB+∠ACD=90°．
故答案为：90；

（2）成立．
理由：如图2，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠DPB=∠A．
∵∠A+∠ACD=90°，
∴∠DPB+∠ACD=90°．

（3）∠DPB-∠ACD=90°．
理由：如图3，连接AP，则∠BPD=∠BPA+∠APD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BPA=90°，∠ACD=∠APD，
∴∠BPD=90°+∠ACD，即∠BPD-∠ACD=90°．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，难度适中．