Question

如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E点，点E为BC的中点，tanB=2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF．
（1）若AD=4，求AE的长；
（2）求证：

2

AF+EF=DF．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得出答案；
（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．

解答：（1）解：∵tanB=2，
∴AE=2BE；
∵E是BC中点，
∴BC=2BE，
即AE=BC；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=AE=4；

（2）证明：如图：作AG⊥AF，交DP于G；
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DPC；
∵∠AEP=∠EFP=90°，
∴∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=90°，
即∠ADG=∠AEF=∠FPE；
又∵AE=AD，∠FAE=∠GAD=90°-∠EAG，
在△AFE和△AGD中

∠FAE=∠DAG AE=AG ∠AEF=∠ADG

，
∴△AFE≌△AGD（ASA），
∴AF=AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF=DG；
∴FG=

2

AF，且DF=DG+GF=EF+FG，
故DF-EF=

2

AF．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，难度适中，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键．