Question

20．如图，正方形ABCD中，AD为⊙O的直径，E为AB上一点将正方形沿EC折叠，点B落在⊙O上的F点．
（1）求证，FC是⊙O的切线；
（2）若BC=2，求tan∠AEF的值．

Answer 1

分析 （1）如图：连接OF，OC．根据全等三角形的性质得到∠OFC=∠ODC=90°，于是得到结论；
（2）根据正方形的性质得到AD=BC=AB=CD=2，由∠CFE=∠B=90°，得到E，F，O三点共线．根据勾股定理得到BE=$\frac{2}{3}$，于是得到结论．

解答 解：（1）如图：连接OF，OC．
在△OCF和△OCD中，$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{OC=OC}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△OCF≌△OCD，
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴CF是⊙O的切线；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=AB=CD=2，
∵∠CFE=∠B=90°，
∴E，F，O三点共线．
∵EF=EB，
∴在△AEO中，AO=1，AE=2-BE，EO=1+BE，
∴（1+BE）²=1+（2-BE）²，
∴BE=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠AEF=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查的是切线的判定，根据三角形全等判定CF是圆的切线，然后由翻折变换，得到对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段的长．