Question

8．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2m²x+2交y轴于A点，交直线x=4于B点．
（1）抛物线的对称轴为x=m（用含m的代数式表示）；
（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；
（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x_p，y_p），y_p≤2，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$，代入数据即可得出结论；
（2）由AB∥x轴，可得出点B的坐标，进而可得出抛物线的对称轴为x=2，结合（1）可得出m=2，将其代入抛物线表达式中即可；
（3）分m＞0及m＜0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）抛物线的对称轴为x=$\frac{-（-2{m}^{2}）}{2m}$=m．
故答案为：m．
（2）当x=0时，y=mx²-2m²x+2=2，
∴点A（0，2）．
∵AB∥x轴，且点B在直线x=4上，
∴点B（4，2），抛物线的对称轴为直线x=2，
∴m=2，
∴抛物线的表达式为y=2x²-8x+2．
（3）当m＞0时，如图1．
∵A（0，2），
∴要使0≤x_p≤4时，始终满足y_p≤2，只需使抛物线y=mx²-2m²x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．
∴m≥2；
当m＜0时，如图2，
在0≤x_p≤4中，y_p≤2恒成立．
综上所述，m的取值范围为m＜0或m≥2．

点评 本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）牢记抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；（2）根据二次函数的性质找出对称轴为x=2；（3）分m＞0及m＜0两种情况考虑．