Question

15．将直线l₁：y=x和直线l₂：y=2x+1及x轴围成的三角形面积记为S₁，直线l₂：y=2x+1和直线l₃：y=3x+2及x轴围成的三角形面积记为S₂，…，以此类推，直线l_n：y=nx+n-1和直线l_n+1：y=（n+1）x+n及x轴围成的三角形面积记为S_n，记W=S₁+S₂+…+S_n，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据题意列出方程组，解出x，y的值，可知无论k取何值，直线l₁与l₂的交点均为定点，再求出y=nx+n-1与x轴的交点和y=（n+1）x+n与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出S_n，根据公式可求出S₁、s₂、s₃、…，然后可求得w的表达式，从而可猜想出W最接近的常数的值．

解答 解：将y=nx+n-1和y=（n+1）x+n联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=nx+n-1}\\{y=（n+1）x+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$
∴无论k取何值，直线l_n和直线l_n+1均交于定点（-1，-1）
k≠1时l₁与l₂的图象的示意图^，

∵y=nx+n-1与x轴的交点为A（$\frac{1-n}{n}$，0），
y=（n+1）x+n与x轴的交点为B（$-\frac{n}{n+1}$，0），
∴S_n=S_△ABC=$\frac{1}{2}×AB×|-1|$
=$\frac{1}{2}|\frac{1-n}{n}+\frac{n}{n+1}|×1$=$\frac{1}{2n（n+1）}$，
当n=1时，结论同样成立．
∴w=s₁+s₂+s₃+…+s_n
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}•\frac{n}{n+1}$
当n越来越大时，$\frac{n}{n+1}$越来越接近与1．
∴$\frac{1}{2}•\frac{n}{n+1}$越来越接近于$\frac{1}{2}$
∴w越来越接近于$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．