题目内容

20．如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是?APQM面积的$\frac{1}{4}$时，求?APQM面积．

分析 （1）根据抛物线解析式求得点A、B、C点坐标，由点D，C关于抛物线的对称轴对称得点D坐标，继而利用待定系数法求解可得；
（2）设点F（x，-x2+2x+3），根据FH∥x轴及直线AD的解析式y=x+1可得点H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），继而表示出FH的长度，根据二次函数的性质可得FH的最值情况，易得△FGH为等腰直角三角形，从而可得其周长的最大值；
（3）设P（0，p），根据平行四边形性质及点M坐标可得Q（2，4+p），分P点在AM下方与P点在AM上方两种情况，根据重合部分的面积关系及对称性求得点P的坐标后即可得?APQM面积．

解答 解：（1）令-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），C（0，3），
∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为：y=x+1；

（2）设点F（x，-x2+2x+3），
∵FH∥x轴，
∴H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），
∴FH=-x2+2x+2-x=-（x-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{9}{4}$，
∴FH的最大值为$\frac{9}{4}$，
由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，
∵FH∥AB，
∴∠FHG=∠DAB=45°，
∴FG=GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$
故△FGH周长的最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$×2+$\frac{9}{4}$=$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$；

（3）①当P点在AM下方时，如图1，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与?APQM重合部分的面积是?APQM面积的$\frac{1}{4}$，
∴PQ′必过AM中点N（0，2），
∴可知Q′在y轴上，
易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，
故T（1，4），从而T、M重合，
∴?APQM是矩形，
∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，
∵MQ⊥AM，
∴直线QQ′：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
∴4+p=-$\frac{1}{2}$×2+$\frac{9}{2}$，
解得：p=-$\frac{1}{2}$，
∴PN=$\frac{5}{2}$，
∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4×$\frac{1}{2}$×PN×AO=4×$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1=5；

②当P点在AM上方时，如图2，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与?APQM重合部分的面积是?APQM面积的$\frac{1}{4}$，
∴PQ′必过QM中点R（$\frac{3}{2}$，4+$\frac{p}{2}$），
易得直线QQ′：y=-$\frac{1}{2}$x+p+5，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=2x+2\\ y=-\frac{1}{2}x+p+5\end{array}$，
解得：x=$\frac{6+2p}{5}$，y=$\frac{22+4p}{5}$，
∴H（$\frac{6+2p}{5}$，$\frac{22+4p}{5}$），
∵H为QQ′中点，
故易得Q′（$\frac{2+4p}{5}$，$\frac{24+3p}{5}$），
由P（0，p）、R（$\frac{3}{2}$，4+$\frac{p}{2}$）易得直线PR解析式为：y=（$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{3}$）x+p，
将Q′（$\frac{2+4p}{5}$，$\frac{24+3p}{5}$）代入到y=（$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{3}$）x+p得：$\frac{24+3p}{5}$=（$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{3}$）×$\frac{2+4p}{5}$+p，
整理得：p2-9p+14=0，
解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），
∴P（0，7），
∴PN=5，
∴S□APQM=2S△AMP=2×$\frac{1}{2}$×PN×|xM-xA|=2×$\frac{1}{2}$×5×2=10．
综上所述，?APQM面积为5或10．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质与矩形的判定、性质等知识点，根据点P的位置分类讨论及根据已知条件求出点P的坐标是解决本题的难点．

练习册系列答案
相关题目
10．点A，B，C在同一直线上，AB=6cm，BC=2cm，点M，N分别是线段AB、BC的中点，MN的长是（　　）
A．4cmB．2cmC．4cm或2cmD．8cm
11．因式分解：3x2-27=3（x+3）（x-3）．
8．若x-y=3，xy=1，则x2+y2=11．
15．某文具店销售甲、乙两种圆规，当销售5只甲种、1只乙种圆规，可获利润25元，销售6只甲种、3只乙种圆规，可获利润39元．
（1）问该文具店销售甲、乙两种圆规，每只的利润分别是多少元？
（2）在（1）中，文具店共销售甲、乙两种圆规50只，其中甲种圆规为a只，求文具店所获得利润P与a的函数关系式，并求当a≥30时P的最大值．
5．上午9时30分，时钟的时针和分针所成的角为（　　）
A．90°B．100°C．110°D．105°
12．分解因式：3x3+6x2y+3xy2=3x（x+y）2．
9．把多项式3ax2-6ax+3a分解因式的结果为3a（x-1）2．
10．分解因式：a2b+2ab2+b3=b（a+b）2．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网