Question

4．先阅读后解题：
若m²+2m+n²-6n+10=0，求m和n的值．
解：等式可变形为：m²+2m+1+n²-6n+9=0
即    （m+1）²+（n-3）²=0
因为（m+1）²≥0，（n-3）²≥0，
所以   m+1=0，n-3=0
即     m=-1，n=3．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：
（1）已知x²+y²+x-6y+$\frac{37}{4}$=0，求x^y的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a²+b²-4a-6b+11=0，则△ABC的周长是7；
（3）a²+b²+4a-10b+30的最小值是1．

Answer 1

分析 （1）根据配方法，可得x，y的值，根据乘方的意义，可得答案；
（2）根据配方法，可得a，b的值，在根据三角形三边的关系，可得c的值，根据三角形的周长，可得答案；
（3）根据配方法，可得非负数的和，根据非负数的性质，可得答案．

解答 解：（1）等式可变形为：x²+x+$\frac{1}{4}$+y²-6y+9=0，
即（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=0
∵（x+$\frac{1}{2}$）²≥0，（y-3）²≥0，
∴x+$\frac{1}{2}$=0，y-3=0，
即x=-$\frac{1}{2}$，y=3．
x^y=（-$\frac{1}{2}$）³=-$\frac{1}{8}$；

（2）等式可变形为（$\sqrt{2}$a）²-4a+（$\sqrt{2}$）²+b²-6b+9=0，
即（$\sqrt{2}$a-$\sqrt{2}$）²+（b-3）²=0，
∵（$\sqrt{2}$a-$\sqrt{2}$）²≥0，（b-3）²≥0，
∴$\sqrt{2}$a-$\sqrt{2}$=0，b-3=0，
即a=1，b=3，
由三角形三边的关系，得
2＜c＜4，
又∵a、b、c都是正整数，
∴c=3，
△ABC的周长是3+3+1=7；

（3）原式=a²-4a+4+b²-10b+25+1
=（a-2）²+（b-5）²+1
∵（a-2）²≥0，（b-5）²≥0，
∴a²+b²+4a-10b+30的最小值是1，
故答案为：7，1．

点评 本题考查了非负数的性质，利用配方法得出非负数的和是解题关键．