Question

14．抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线x轴下方的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似（相似比不为1）？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，设△DCA的面积为S，则求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x-1），把（0，-2）代入抛物线的解析式，可得a=-$\frac{1}{2}$，由此即可解决问题．
（2）设P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．），因P在x轴下方，当x＞4时，若△Rt△OAC∽Rt△MPA，则有：$\frac{PM}{MA}$=$\frac{OA}{OC}$=2，若△Rt△OAC∽Rt△MAP，分别列出方程即可．当x＜1，同法可求；
（3）设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2，过D作y 轴的平行线交AC于E，由题意可求得直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，可得E点的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t-2），推出DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$x-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，可得S_△DAC=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{1}{2}$t²+2t）•4=-t²+4t=-（t-2）²+4，根据二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x-1），
把（0，-2）代入抛物线的解析式，可得a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．

（2）设P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．），因P在x轴下方，当x＞4时，
若△Rt△OAC∽Rt△MPA，则有：$\frac{PM}{MA}$=$\frac{OA}{OC}$=2，即$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}{x-4}$=-2，解得x=5或x=4（舍去）．
若△Rt△OAC∽Rt△MAP，则即$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}{x-4}$=-$\frac{1}{2}$，解得：x=2或x=4，均不符合x＞4，舍去．
当x＜1时，
若△Rt△OAC∽Rt△MPA，则有：$\frac{PM}{MA}$=$\frac{OA}{OC}$=2，即$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}{x-4}$=2，解得x=-3或x=4（舍去）．
若△Rt△OAC∽Rt△MAP，则即$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}{x-4}$=$\frac{1}{2}$，解得：x=0或x=4，均不符合x＞4，舍去．
故P（-3，-14）或（5，-2）．

（3）设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2，
过D作y 轴的平行线交AC于E，
由题意可求得直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴E点的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t-2），
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$x-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{1}{2}$t²+2t）•4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，△DAC的面积最大为4，
故0＜S≤4．

点评 本题考查二次函数的综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．