Question

4．如图，四边形OABC是面积为9的正方形，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC，设线段MC′、NA′分别与函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式y₁；
（3）当y₁＞y时，请直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正方形的面积可求得B点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；
（2）由折叠的性质可求得E、F的坐标，利用待定系数法可求得直线EF的解析式；
（3）结合图象可求得答案．

解答 解：
（1）∵四边形OABC是面积为9的正方形，
∴OA=OC=3，
∴点B坐标为（3，3），
将x=3，y=3代入反比例函数解析式得k=xy=3×3=9
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{9}{x}$；

（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，
∴ON=OM=2OA=6，
∴点E横坐标为6，点F纵坐标为6．
∵点E、F在函数y=$\frac{9}{x}$的图象上，
∴当x=6时，y=$\frac{3}{2}$，即E（6，$\frac{3}{2}$），
当y=6时，x=$\frac{3}{2}$，即F（$\frac{3}{2}$，6），
设直线EF解析式为y₁=mx+n，将E、F两点坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}{6m+n=\frac{3}{2}}\\{\frac{3}{2}m+n=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为y₁=-x+$\frac{15}{2}$；

（3）当y₁＞y时，即直线在反比例函数图象的上方时所对应的自变量的取值范围，
∴当y₁＞y时，$\frac{3}{2}$＜x＜6．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、正方形的性质、折叠的性质、数形结合思想等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，在（2）中求得E、F的坐标是解题的关键，在（3）中注意数形结合思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．