Question

5．如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE
（1）求证：BE=AD；
（2）若AC=6，AD=9，AE=3
①求证：△ABE是直角三角形；
②求△ACE的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明BE=AD，只要证明△BCE≌△ACD即可；
（2）①利用勾股定理的逆定理证明即可；
②作EH⊥AC于H．想办法求出EH即可解决问题；

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CA}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．


（2）①证明：在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵BE=AD=9，AE=3，
∴AB²+AE²=72+9=81，BE²=81，
∴AB²+AE²=BE²，
∴△ABE是直角三角形．

②解：作EH⊥AC于H．
∵∠BAE=90°，∠BAC=45°，
∴∠EAH=45°，
∴AH=HE，∵AE=3，
∴AH=HE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$•AC•HE=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．