Question

20．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于点E，EF⊥AC，交其延长线于点F，则AF的最大值为4．

Answer 1

分析 由AB=5、AC=3、BC=4可得出∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，则点C、E在圆上，作BC的平行线切⊙O于点E，过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，根据OE⊥EF、OE⊥EF、EF⊥AF可得出四边形OEFM为矩形，进而可得出MF的长度，再根据点O为AB的中点利用三角形中位线的性质可得出AM的长度，由AF=AM+MF可求出AF的最大值．

解答 解：∵AB=5，AC=3，BC=4，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°．
以AB为直径作⊙O，则点C、E在圆上，作BC的平行线切⊙O于点E，过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，如图所示．
∵OM⊥AC，∠ACB=90°，
∴OM∥BC．
∵点O为AB的中点，
∴点M为AC的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$．
∵EF切⊙O为点E，
∴OE⊥EF，
∴OE∥MF，
∴四边形OEFM为矩形，
∴MF=OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴AF=AM+ME=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理、切线的性质、三角形中位线的性质以及矩形的判定与性质，通过作切线找出AF最长时点E的位置是解题的关键．