Question

如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN．
（1）求线段CN的长；
（2）求以线段MN为边长的正方形的面积；
（3）求线段AM的长度．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8-x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长；
（2）过点M作MG⊥CD于点G，证明△MNG≌△DEC，则有MN=DE；
（3）（2）中已得△MNG≌△DEC，得到GN=CE，从而求出DG，即AM的长度．

解答：解：（1）由题意设CN=x cm，则EN=（8-x）cm，
又∵CE=

1

2

DC=4cm，
∴在Rt△ECN中，EN²=EC²+CN²，即（8-x）²=4²+x²，
解得：x=3，即CN=3cm；

（2）在Rt△DCE中，CE=4cm，CD=8cm，
由勾股定理得：DE=

CD2+CE2

=

82+42

=4

5

cm，
如图，过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知AM=DG，MG=BC=CD．
连接DE，交MG于点I．

由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE=90°，
∵∠DIG+∠EDC=90°，∠MIE=∠DIG（对顶角相等），
∴∠NMG=∠EDC．
在△MNG与△DEC中，

∠NMG=∠EDC MG=CD ∠MGN=∠DCE

，
∴△MNG≌△DEC（ASA）．
∴MN=DE=4

5

cm；
（3）∵△MNG≌△DEC
∴GN=CE=4cm，
∴DG=CD-CN-GN=8-3-4=1cm．
∴AM=DG=1cm．

点评：考查了翻折问题，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的．本题中DN=EN是解题关键，再利用勾股定理、全等三角形的知识就迎刃而解．