Question

16．如图所示，矩形ABCD，F为BC中点，DF延长线交直线AB的延长线于E，与AC交于O点，则O点到直线AB和直线CD的距离之比为（　　）

• A． 1：2
• B． 2：1
• C． 1：3
• D． 2：3

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，由ASA证明△BEF≌△CDF，得出BE=CD=AB，AE=2AB=2CD，由平行线得出比例式$\frac{OD}{OE}=\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{2}$，过O作EF⊥AB于E，交CD于F，由平行线得出△OME∽△OND，得出对应边成比例$\frac{OM}{ON}=\frac{OE}{OD}$=2，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBF=90°，
∵F为BC的中点，
∴BF=CF，
在△BEF和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠DCF=90°}&{\;}\\{BF=CF}&{\;}\\{∠BFE=∠CFD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CDF（ASA），
∴BE=CD=AB，
∴AE=2AB=2CD，
∵AB∥CD，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
过O作EF⊥AB于E，交CD于F，如图所示：
∵AB∥CD，
∴△OME∽△OND，
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{OE}{OD}$=2，
即O点到直线AB和直线CD的距离之比为2：1；
故选：B．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由平行线得出三角形相似是解决问题的关键．