Question

9．如图，AB是⊙O的直径，弦AC，BD交于点E，且tan∠AED=$\frac{1}{2}$，则$\frac{AB}{DC}$的值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据正切的概念、勾股定理求出$\frac{AE}{DE}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算即可．

解答 解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵tan∠AED=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得，$\frac{AE}{DE}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵∠C=∠B，∠DEC=∠AEB，
∴△AEB∽△DEC，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、正切的概念、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、圆周角定理是解题的关键．