Question

4．如图，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，AE=4，BC=8，有下列结论：
①DE=4$\sqrt{5}$；
②S_△AED=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}；
③DE平分∠ADC；
④∠AED=∠ADC．
其中正确结论的序号是①②③（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 利用平行四边形的性质结合勾股定理以及三角形面积求法分别分析得出答案．

解答 解：①∵在?ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AE=4，BC=8，
∴AD=8，∠EAD=90°，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，故此选项正确；
②∵S_△AED=$\frac{1}{2}$AE•AD
S_{四边形ABCD}=AE×AD，
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，故此选项正确；
③∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵AB=5，AE=4，∠AEB=90°，
∴BE=3，
∵BC=8，
∴EC=CD=5，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC，故此选项正确；
④当∠AED=∠ADC时，由③可得∠AED=∠EDC，
故AE∥DC，与已知AB∥DC矛盾，故此选项错误．
故答案为：①②③．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、三角形面积求法等知识，正确应用平行四边形的性质是解题关键．