Question

14．如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线得出EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，DG∥BC，求出EF∥DG，EF=DG，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠BOC=90°，根据直角三角形斜边上的中线得出EF=2OM=4，即可求出答案．

解答 解：（1）四边形DEFG是平行四边形，
理由是：∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，DG∥BC，
∴EF∥DG，EF=DG，
∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=180°-90°=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OA=4，
∵EF=DG，
∴DG=4．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．